Análise Combinatória

Resolução:

Grupo de inquérito = 8 oficiais + 4 soldados = 12 pessoas;

C(7,3) -> Serão 3 vagas para 7 oficiais, já que o oficial A estará na comissão;
C(3,2) -> Serão 2 vagas para 3 soldados, já que o soldado B está fora da comissão.


C(7,3) = 7 * 6 * 5 / 3 * 2 = 35
C(3,2) = 3 * 2 / 2 * 1 =  3

Comissões = C(7,3) * C(3,2) = 35 * 3 = 105.

Aplicação de funções em economia.

Resolução:

O(x) = x² + x - 460;

D(x) = 500 - x.

O preço de equilibrio é atingido quando O(x) = D(x).

Portanto:

x² + x - 460 = 500 - x
x² + x + x - 460 - 500 = 0
x² + 2x - 960 = 0                    

Resolvendo a função acima:

delta = b² - 4*a*c
delta = (2)² - 4 * 1 * (-960)
delta =  4 + 3840
delta = 3844

x = [-b +/- raiz (delta)]/2
x = [-2 +/- 62]/2

x1 = (-2 + 62)/2 = 30;
x2 = (-2  - 62)/2 = -32.

Olhando o gráfico, notamos que o x é positivo, portanto, x = 30.

Substituindo em (1);

P(30) = O(30) = D(30), ou seja, podemos substituir o x = 30 na função O(x) ou na D(x) que teremos a resposta da questão.

O( x ) = x² + x - 460  
O(30) = 30² + 30 - 460
O(30) = 900 + 30 - 460 = 470


D( x ) = 500 - x           
D(30) = 500 - 30
D(30) = 470


P(30) = 470 unidades.

Aplicação prática de função do 2º grau.

Resolução:

Se a trajetória foi parabólica, então é do tipo "f(x) = ax² + bx + c";

f(x) = altura;
   x  = tempo;
   a, b e c = constantes que descrevem a trajetória.


Sabemos que quando x = 10, então f(10) = 35m, e quando x = 20, então f(20) = 60m.



f( 0 ) --->   0 = -a( 0 )² + b( 0 ) + c;
f(10) ---> 35 = -a(10)² + b(10) + c;
f(20) ---> 60 = -a(20)² + b(20) + c;


               35 = -100a + 10b + c
               60 = -400a + 20b + c
                 0 =  c




Resolvendo o sistema acima:
               35 = -100a + 10b
               60 = -400a + 20b
             
    (x4)   140 = -400a + 40b
               60 = -400a + 20b         (subtraindo)

               80 = 0a + 20b
                 b = 4
               
               60 = -400a + 20*4
               60 - 80 = -400a
              -20 = -400a
                 a = 0,05
   

Então, a função que representa a parábola é "f(x) = -0,05x² + 4x"

A máxima é alcançada quando: 0 = -0,1x + 4 --> x = 40; 
    
                f(40) = -0,05(40)² + 4*40
                f(40) = -80 + 160
                f(40) =  80m

Questão sobre área e volume de sólidos geométricos.

Resolução:

diâmetro = 20 mm;

raio = diâmetro / 2 = 10 mm;

volume = 6.075 mm³;

espessura (cada moeda) = 2,25 mm;

número de moedas (n) = ?.



Ao empilharmos todas as moedas, teremos um cilindro:

V = área * h

área = π * r²

h = n * espessura 

V = (π * r²) * (n * espessura)

6.075 mm³  = (3 * (10 mm)²) * (n * 2,25 mm)
6.075 mm³  = 300 mm² * n * 2,25 mm
6.075 mm³  = 675 mm³ * n
6.075 / 675 = n
                                                   n = 9 moedas

Questão sobre Progressão Geométrica (Banca IDECAN)

 
Resolução:

a₅ / a₃ = 9      (1)

  

a₁ * a₂ = ?       ₍₂₎                                                 

a₂ - a₁ = 12    (3)   

 

Termo geral da P.G: 

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a_n = a₁ * q^n-1          
------------------------------

a₅ = a₁ * q^5-1          

^{---    ------------                   Obs: q2 = q4 / q2}

^{a₃ = a₁ * q3-1}           

9  =  q²   
q  =  3

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a₂ = a₁ * q^2-1 

a₂ = a₁ * q  

a₂ = 3 * a₁   

------------------------------

a₂ - a₁ = 12

3 * a₁  - a₁ = 12

2 * a₁ = 12

      a₁ = 6

------------------------------

a₁ = 6;

a₂ = 3 * 6 = 18

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a₂ * a₁ = 6 * 18 = 108

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Gabarito letra A.